Определение устойчивости нелинейной системы

x = 0,18 y2 ln (- 3 - 12 - x) + C1= 0,18 y2 ln (- 3 + 12 - x) + C2

Рисунок 5. Фазовый портрет

Вывод: согласно фазовому портрету, данная система является устойчивой, т.к. изображающая точка, независимо от ее начального положения, двигаясь по фазовой траектории, приходит к точке покоя (точкой покоя считается изолированная особая точка с координатами у = 0, dу/dt = 0).

Задача 3. Проверить выполнение достаточного условия абсолютной устойчивости системы при следующих значениях параметров системы: Т1=NВ с, Т2=NВ/2 с, ξ1= NВ/1,5, ξ2=NВ/10, коэффициент передачи линейной части системы kл=4, коэффициент усиления нелинейного звена kн=c/b=NВ/5 (рисунок 6). Определить граничное значение коэффициента k=kлkн, где NВ - номер варианта.

Рисунок 6.

Исходные данные:

Т1=Nв=6с;

Т2=Nв/2=6/2=3с;

ξ1=Nв/1,5=6/1,5=4;

ξ2=Nв/10=6/10=0,6;л=4;н=c/b=NВ/5=6/5=1,2

Решение

Коэффициент передачи разомкнутой системы:

k=kл*kн=4*0,4 = 4,8 отнесём к нелинейному звену.

Точка на вещественной оси:

/k=1/1,6=0,625

Тогда частотная передаточная функция разомкнутой системы будет равна:

Подставляем значения и перемножаем:

В знаменателе раскрываем скобки, чтобы избавиться от j в знаменателе (вычисления опущены). Результат:

Разделяем вещественную и мнимую части:

Для построения видоизмененной частотной характеристики (модифицированный годограф), необходимо умножить мнимую часть на ωT0, где T0 =1с - нормирующий множитель:

Вычисляем ряд значений в Excel и строим модифицированный годограф таким образом, чтобы крайняя левая точка вещественной оси соответствовала -1/k=-1/4,8=-0,2 (рисунок 8). Через эту точку можно провести прямую Попова так, что вся построенная характеристика будет располагаться справа от неё. Следовательно, данная система будет абсолютно устойчивой при заданном k =4,8, если статическая характеристика нелинейного звена целиком располагается в секторе (0, k). Этот сектор заштрихован на рисунке 9.

Рисунок 8. Характеристика М*(ω)=f(В*(ω)).

Рисунок 9.

Граничное значение коэффициента передачи kгр=1/0,8=1,25.

Задача 4. Исследовать устойчивость состояния равновесия системы (рис. 10), если заданы параметры линейной части системы k1=NB с-1, Т1=NB/10 с и статическая характеристика нелинейного звена, для которой b1=NB/10, b2=NB/7, k=tgα=NB, где NВ - номер варианта.

Рисунок 10.

Исходные данные:1=NВ=6 c-1;

Т1=Nв/10=6/10=0,6 с;

b1= Nв/10=6/10=0,6;

b2= Nв/7=6/7=0,86;=tgα=NВ=6

Решение

Амплитудно-фазовая характеристика линейной части:

Избавляемся от j в знаменателе:

Разделяем вещественную и мнимую части:

Читайте также

Проектирование устройств фильтрации
Неотъемлемая часть телекоммуникационных задач связана с преобразованием сигналов. Одной из основных является фильтрация, т.е. выделение или подавление определенных частот сигнала. Устрой ...

Модернизация охранной сигнализации университета
Безопасность собственного имущества издревле была одной из главных забот человека. Для защиты от несанкционированного вторжения в жилище, хищения вещей и пожара человечество придумало не ...

Принцип работы оптоволоконных сканеров отпечатков пальцев
Идентификация по отпечаткам пальцев - на сегодня самая распространенная биометрическая технология. По данным International Biometric Group, доля систем распознавания по отпечаткам пальце ...